Fra Claus' selvbiografi: "Mit levnetsløb er i faa ord følgende (thi det er bedst at udtrykke sig kort): Jeg er søn af Jens Kielstrup og Rebekka Urbye. Efter 8 års skolegang reiste til København for at studere, blev akademisk borger i Trondhjem i 1740, dimitteret af den anseede Mag. Joh. Bræmius, tog filosofisk examen aaret efter og endelig efter 5 aars forløb theologisk examen. Reiste i denne tid ikke tilbake paa grund af de trange kaar i hjemmet. Siden blev jeg i ro i Trondhjem, indtil jeg endelig blev kaldet til sogneprest til Ingø i Finnmarken og er bleven ordineret af vor Nannestad. (Trondhjem 25de April 1749 Claus Chr. Kielstrup)"
Ex. phil 1741 Trondheim, Teologisk attestas1744. Ordinert til prest i Måsøy 1749, var sogneprest der fra 24. april 1749 til 1. oktober 1750. Sogneprest i Hammerfest fra 1. oktober 1750 - 13. mars 1757. Han var med på å skaffe sognet ny kirke, skolemester for nordmennene og også skolehus såvel i Hammerfest som i Kvalsund. Han mistet 2 hustruer og 2 barn mens han var i Hammerfest. Til minne om disse ga han kirken en solid 16-armet lysekrone av messing verd vel 50 riksdaler. I 1762 ga han kirken et kirkeskip. I 1757 dro han til Rødøy som sogneprest. I 1774 overtok han som sogneprest i Lurøy. Det finnes et malt portrett av Claus Christian, men man er ikke sikker på når eller av hvem det er malt. Det virker sannsynlig at det kan være omkring tiden han ble ordinert i Trondheim. Han brukte ofte CCK som forkortelse om seg selv. Han ble omtalt som en mann med store fysiske krefter. Det var en arv fra faren, Jens K., videre til sønnene Fredrik og Joakim og sønnesønnene Christian Fredrik Andreas (sterkepresten) og Bernhard Hartvig, altså i fire generasjoner. I andre grener av slekten har det vært navngjetne kraftkarer.